Variable aleatoria
Una función que asocia un número real, perfectamente definido, a cada punto muestral.
A veces las variables aleatorias (v.a.) están ya implícitas en los puntos muestrales.
Los conjuntos pueden ser:
discretos: número finito o infinito numerable de elementos.
continuos: número infinito no numerable de elementos.
Las v.a. definidas sobre espacios muestrales discretos se llaman v.a. discretas y las definidas sobre espacios muestrales continuos se llaman continuas.
Una v.a. puede ser continua, aunque nosotros sólo podamos acceder a un subconjunto finito de valores. P.e. la presión arterial es una v.a. continua pero sólo podemos acceder a un conjunto finito de valores por la limitación de los aparatos de medida.
En general, las medidas dan lugar a v.a. continuas y los conteos a v.a. discretas.
Ejemplos:
Supongamos un experimento aleatorio consistente
en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento
lo siguiente serían v.a:
1.
Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede
tomar valores x=2,3,4,…,12.
2.
Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede
tomar los valores y=0,1,2.
3.
Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede
tomar los valores z=0,1,2.
Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta.
Dada una variable aleatoria diremos que es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.
Dada una variable aleatoria diremos que es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.
Ejemplos:
1. Sea el experimento consistente en lanzar dos dados al aire. El conjunto de posibles resultados, esto es, el espacio muestral está formado p
or 
= { (i , j) : i=1,2,...,6 j=1,2,...,6 }.
Definimos la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones de los dos dados. La variable así definida asocia a cada elemento de un número real 
, X(i,j) = i+j. Claramente la variable aleatoria así definida es discreta al tomar un número finito de valores, en concreto los naturales comprendidos entre 2 y 36, ambos inclusive.
or = { (i , j) : i=1,2,...,6 j=1,2,...,6 }.Definimos la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones de los dos dados. La variable así definida asocia a cada elemento de
un número real , X(i,j) = i+j. Claramente la variable aleatoria así definida es discreta al tomar un número finito de valores, en concreto los naturales comprendidos entre 2 y 36, ambos inclusive.
2. Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de vehículos, fabrica al día 1000 motores de automóviles.Definimos la v.a. X = "número de motores defectuosos".
X puede tomar como valor 0,1,2,3,4,...,1000.
Esta v.a. así definida es discreta.
3. Una urna co
ntiene 10 bolas blancas y 10 negras. Se extrae una bola y se introducen 2 bolas del mismo color que se ha extraido. Se realiza el experimento indefinidamente.
Definimos la v.a. X = "número de bolas blancas que hay en la urna" . La variable aleatoria así definida es discreta siendo su valor inicial 10 y pudiendo tomar como valor cualquier natural mayor o igual que 10, en este caso hay un número infinito numerable de valores posibles.
ntiene 10 bolas blancas y 10 negras. Se extrae una bola y se introducen 2 bolas del mismo color que se ha extraido. Se realiza el experimento indefinidamente.Definimos la v.a. X = "número de bolas blancas que hay en la urna" . La variable aleatoria así definida es discreta siendo su valor inicial 10 y pudiendo tomar como valor cualquier natural mayor o igual que 10, en este caso hay un número infinito numerable de valores posibles.
Ejemplo 1:
Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X
v.a. número de caras. Calcular su función masa de
probabilidad y su función de distribución.
Ejemplo 2:
Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que
contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número
de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.
Función de probabilidad
Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.
Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.
P[ X = xi ]
Así si la v.a. X toma los valores x1,...,xi,...,xn la función de probabilidad asociada a cada xi una probabilida pi, verificándose siempre que 
pi = 1
Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
pi = 1Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
= {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.
Resumido:
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.
Resumido:
Función de distribución
Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a
tal que 
.
Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la v.a.x0,x1,...,xi,...,xn entonces
Propiedades:
Esperanza o media (v.a. discreta)
Consideremos una v.a discreta X que toma los valores x1,x2,...,xi,...,xn con probabilidadesp1,p2,...,pi,...,pn.
Llamaremos media o esperanza de X a
Propiedades:
Un jugador de dardos tiene probabilidad 0.2 de obtener 5 puntos al lanzar, una probabilidad de 0.25 de obtener un 10, 0.15 de obtener 50 puntos y 0.4 de obtener 20 puntos. Si consideramos la variable aleatoria puntuación ¿Cuál es su esperanza?
La variable aleatoria X toma los valores 5, 10, 20, 50 con probabilidades respectivas 0.2, 0.25, 0.4, 0.15, es claro que se trata de una v.a. discreta.
E[X]= 5·0.2 + 10·0.25 + 20·0.4 + 50·0.15 = 1 + 2.5 + 8 + 7.5 = 19 puntos
Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a
tal que .Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la v.a.x0,x1,...,xi,...,xn entonces
Propiedades:
- La funcion de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.
- Para todo x < x0 F(x) = 0, siendo x0 el menor de los valores que toma la v.a. X
- Para todo x > xn F(x) = 1, siendo xn el mayor valor que toma la v.a. X .
- F(x) es una función creciente (x < y => F(x)
F(y) )
Dados x < y
- Si la v.a. no toma ningún valor entre ambos F(x)=F(y)
- Si la v.a. toma algún valor entre ambos, supongamos que tomase k valoresxi+1,...,xi+k ( cada P[ X = xj ] ≥ 0 con j=i+1,...,i+k ) entonces
F(y) = F(x) + P[ X = xi+1 ]+ P[ X = xi+2 ]+...++ P[ X = xi+k ] y consecuentementeF(y) ≥ F(x).
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}.
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras y estudiemos su función de distribución.
={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}.Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras y estudiemos su función de distribución.
| Si x<0 |  |
Si  |  |
Si  |  |
Si  |  |
Si  |  |
| En resumen | Gráficamente | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  |
Esperanza o media (v.a. discreta)
Consideremos una v.a discreta X que toma los valores x1,x2,...,xi,...,xn con probabilidadesp1,p2,...,pi,...,pn.
Llamaremos media o esperanza de X a
- Dada una variable aleatoria que toma siempre el mismo valor C, es decir, la variable es constante. Su esperanza es esa misma constante.
- Si se multiplica una variable aleatoria por una constante, su esperanza se ve multiplicada por esa constante.
, veámoslo:
- Sean X e Y dos variables aleatorias, E[X+Y]=E[X]+E[Y]
- En general, E[aX+b]=aE[X]+b
Ejemplo:
Un jugador de dardos tiene probabilidad 0.2 de obtener 5 puntos al lanzar, una probabilidad de 0.25 de obtener un 10, 0.15 de obtener 50 puntos y 0.4 de obtener 20 puntos. Si consideramos la variable aleatoria puntuación ¿Cuál es su esperanza?
La variable aleatoria X toma los valores 5, 10, 20, 50 con probabilidades respectivas 0.2, 0.25, 0.4, 0.15, es claro que se trata de una v.a. discreta.
E[X]= 5·0.2 + 10·0.25 + 20·0.4 + 50·0.15 = 1 + 2.5 + 8 + 7.5 = 19 puntos
Varianza (v.a. discreta)
Se define la varianza como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable y su esperanza:
V(X) = E[ (X - E[X] )2 ], teniendo en cuenta la definición de esperanza, la varianza queda
V(X) = (X - E[X] )2·pi
Desarrollando el cuadrado llegamos a una expresión de la varianza más cómoda para operar que la definición
V(X) = (xi - E[X] )2·pi = x2i pi + E[X] 2·pi - 2 xiE[X] ·pi =
x2i pi +E[X] 2 pi - 2E[X] xi·pi= E[X 2] + E[X] 2-2 E[X] 2= E[X 2] - E[X] 2
V(X)= E[X 2] - E[X] 2
Se define la varianza como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable y su esperanza:
V(X) = E[ (X - E[X] )2 ], teniendo en cuenta la definición de esperanza, la varianza queda
V(X) =
(X - E[X] )2·piDesarrollando el cuadrado llegamos a una expresión de la varianza más cómoda para operar que la definición
V(X) =
(xi - E[X] )2·pi = x2i pi + E[X] 2·pi - 2 xiE[X] ·pi = x2i pi +E[X] 2 pi - 2E[X] xi·pi= E[X 2] + E[X] 2-2 E[X] 2= E[X 2] - E[X] 2V(X)= E[X 2] - E[X] 2
Desviación típica
Se llama desviación típica o estándar a la raíz cuadrada positiva de la varianza
Para determinar la varianza hemos elevado los datos al cuadrado, esto implica que las unidades se elevan al cuadrado. La desviación típica consigue tener las desviaciones en la misma unidad que los datos.
Variable aleatoria continua.
Sea X una v.a. diremos que es continua cuando toma un número infinito no numerable de valores, es el caso de los intervalos de R o todo R.
Ejemplos:
1. Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas, para ello se define la v.a. X="duración de una bombilla" . La v.a. así definida es una variable continua pues puede tomar cualquier valor mayor que 0.
2. Una empresa dedicada a la confección de pantalones de caballero ha determinado que la cintura de los varones en una determinada localidad oscila entre 70 cm y 130 cm. La v.a. X= "medida de la cintura de un varón" puede tomar cualquier valor comprendidio entre 70 y 130 cm. Toma por tanto un número infinito no numerable ce valores, X es una v.a. continua.
3. Una panificadora desea conocer qué peso tienen las barras de pan. La máquina fabrica piezas con pesos comprendidios entre 225 gr. y 275gr. La v.a. X= "Peso de una barra de pan" es continua, tomando valores en el intervalor [225, 275].
Sea X una v.a. diremos que es continua cuando toma un número infinito no numerable de valores, es el caso de los intervalos de R o todo R.
Ejemplos:
1. Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas, para ello se define la v.a. X="duración de una bombilla" . La v.a. así definida es una variable continua pues puede tomar cualquier valor mayor que 0.2. Una empresa dedicada a la confección de pantalones de caballero ha determinado que la cintura de los varones en una determinada localidad oscila entre 70 cm y 130 cm. La v.a. X= "medida de la cintura de un varón" puede tomar cualquier valor comprendidio entre 70 y 130 cm. Toma por tanto un número infinito no numerable ce valores, X es una v.a. continua.3. Una panificadora desea conocer qué peso tienen las barras de pan. La máquina fabrica piezas con pesos comprendidios entre 225 gr. y 275gr. La v.a. X= "Peso de una barra de pan" es continua, tomando valores en el intervalor [225, 275].
Función de densidad
Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.
Definimos
una función que verifica:
Ejemplos:
Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.
Definimos
una función que verifica:
Ejemplos:
1. Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :
Esta función así definida cumple las dos condiciones:
Esta función así definida cumple las dos condiciones:
2. Dada la función
determínese el valor de k para que f sea una función de densidad
Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2
determínese el valor de k para que f sea una función de densidad
Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2
Función de distribución
La función de distribución
nos da la probabilidad acumulada desde 
hasta el valor que se tiene en consideración
gráficamente la función de distribución es el área limitada por la función de densidad y el eje de abscisas entre y x
Ejemplo:
Cierta variable aleatoria tiene por función de densidad
Vamos a determinar su función de distribución.
a) Si x < 0
b) Si 0 ≤ x ≤ 1
c) Si x > 1
En resumen
La función de distribución
nos da la probabilidad acumulada desde hasta el valor que se tiene en consideracióngráficamente la función de distribución es el área limitada por la función de densidad y el eje de abscisas entre
y xCierta variable aleatoria tiene por función de densidadVamos a determinar su función de distribución.
a) Si x < 0
b) Si 0 ≤ x ≤ 1
c) Si x > 1
En resumen
Esperanza o media (v.a. continua)
Consideremos una v.a continua X.
Llamaremos media o esperanza de X a
donde x son los valores que toma la variable y f(x) es la función de densidad
Propiedades:
Consideremos una v.a continua X.
Llamaremos media o esperanza de X a
Propiedades:
- Dada una variable aleatoria continua que toma siempre el mismo valor C, es decir, la variable es constante. Su esperanza es esa misma constante.
ya que
- Si se multiplica una variable aleatoria por una constante, su esperanza se ve multiplicada por esa constante.
- Sean X e Y dos variables aleatorias, E[X+Y]=E[X]+E[Y]
- En general, E[aX+b]=aE[X]+b
1. El peso (en gramos) de un insecto se distribuye según
Calcula el peso esperado
Calcula el peso esperado
2. El tiempo de vida (en años) de una determinada componente de un juguete electrónico tiene por función de densidad
El tiempo de vida esperado será
La duración esperada de la componente es de medio año, es decir, 6 meses.
El tiempo de vida esperado será
La duración esperada de la componente es de medio año, es decir, 6 meses.
Varianza (v.a. continua)
Se define la varianza como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable y su esperanza:
V(X) = E[ (X - E[X] )2 ], teniendo en cuenta la definición de esperanza, la varianza queda
Desarrollando el cuadrado llegamos a una expresión de la varianza más cómoda para operar que la definición
Desviación típica
Se llama desviación típica o estándar a la raíz cuadrada positiva de la varianza
Para determinar la varianza hemos elevado los datos al cuadrado, esto implica que las unidades se elevan al cuadrado. La desviación típica consigue tener las desviaciones en la misma unidad que los datos.
Ejemplos:
2. El tiempo de vida (en años) de una determinada componente de un juguete electrónico tiene por función de densidad
Halla su varianza
Razonamos de forma análoga al caso anterior
-
-
V(X)= E[X 2] - E[X] 2=
Se define la varianza como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable y su esperanza:
V(X) = E[ (X - E[X] )2 ], teniendo en cuenta la definición de esperanza, la varianza queda
Desarrollando el cuadrado llegamos a una expresión de la varianza más cómoda para operar que la definición
Desviación típica
Se llama desviación típica o estándar a la raíz cuadrada positiva de la varianza
Para determinar la varianza hemos elevado los datos al cuadrado, esto implica que las unidades se elevan al cuadrado. La desviación típica consigue tener las desviaciones en la misma unidad que los datos.
Ejemplos:
1. El peso (en gramos) de un insecto se distribuye según 
Determínese la varianza de X
Para determinar la varianza primero calculamos E[X] y E[X 2]
-
-
V(X)= E[X 2] - E[X] 2=
Determínese la varianza de X
Para determinar la varianza primero calculamos E[X] y E[X 2]
-
-
V(X)= E[X 2] - E[X] 2=
2. El tiempo de vida (en años) de una determinada componente de un juguete electrónico tiene por función de densidadHalla su varianza
Razonamos de forma análoga al caso anterior
-
-
V(X)= E[X 2] - E[X] 2=
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