Estadistica: noviembre 2013

Distribución Binomial

Notación:

Definición

Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquétas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.

Ejemplo

Éxito podría ser hallar en un ensayo específico que la unidad es defectuosa al examinarla. Cada experimento aleatorio consiste en una serie de ensayos o pruebas repetidas realizadas en idénticas condiciones ( $\QTR{bf}{\eta }$ veces), o sea que cada uno de ellos es independiente de los demás.

Sea $\QTR{bf}{\rho }$ la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se realiza y

$\QTR{bf}{q}$ la probabilidad de fracaso. Sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos o pruebas. El interés se centra en conocer la probabilidad de obtener exactamente

éxitos en esos $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos.

Criterios o propiedades para definir la Distribución Binomial

Resumiendo, podemos definir estos criterios:

1- El experimento aleatorio consiste en $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos o pruebas repetidas, e idénticas y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con reemplazamiento o con reposición.

2- Cada uno de los $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posibles resultados: éxito ó fracaso.

3- La probabilidad del llamado éxito (

, pemanece costante para cada ensayo o prueba.

4- Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente de las demás.

Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que el constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se llama experimento de Bernoulli.

5. El interés recae en hallar la probabilidad de obtener

número de éxitos al realizar $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos del mismo E.A.

La función de probabilidad de X en esas condiciones será:

Para $\QTR{bf}{\eta }$ entero $\$ y

Planteamiento Básico

Supongamos un proceso productivo en serie de una misma unidad metalmecánica y en él que: Probabilidad de una unidad defectuosa :

y probabilidad de unidad no defectuosa:

Supongamos que el interés está en evaluar el proceso mediante una muestra aleatoria de 4 unidades y por tanto se define la v.a X como el número de unidades defectuosas en la muestra. Para garantizar que los ensayos resulten independientes hacemos la selección con reemplazamiento o sustitución.

Supongamos que centramos nuestro interes en

unidad defectuosa en las cuatro pruebas o ensayos. Sea B=bueno y D= defectuoso. Por lo tanto el $\ \Omega$ esta conformado por 16 resultados posibles

$S=\{BBBB,$

.....

$DDDD\}.$

Se puede entonces notar que los eventos favorables a

constiuyen el subconjunto

. Como no importa el orden de aparición de la unidad defectuosa sino que aparezca exactamente una unidad con esa característica tenemos:

o sea:

para cada posible resultado de una unidad defectuosa

Como son cuatro resultados los que satisfacen el interés específico de una unidad defectuosa entonces

Si generalizamos:

donde: $\binom{n}{x}$ son las distintas maneras como

éxitos se producen dentro de los $\eta$ ensayos;

es la probabilidad de

éxitos en cada una de las maneras distintas de producirse los

éxitos .

Para el caso del ejemplo:

Consideremos el caso ya no de

defectuoso; sino todos los valores que puede asumir X en las cuatro pruebas.

Como son 4 ensayos y consideramos todos los posibles valores de

entonces la

Los valores de

se pueden calcular por medios electrónicos ó utilizando las tablas de la distribución binomial que proporcionan la solución de estas operaciones, a veces largas o laboriosas.

Con los resultados de esos cálculos podemos construir la tabla de distribución de probabilidades, hacer su gráfica y definir sus principales características.

Tomemos como ejemplo la distribución binomial de parámetros

Características de la distribución binomial.

Tendencia central:

= $E(X)=\sum xf(x)$ aplicando la definición de valor esperado se obtiene que para esta distribución : $\ \mu =\eta \rho$

Dispersión ó variación:

: $\sigma ^{2}$ =

lo que conduce a que una v.a. binomial X tiene como varianza

Por lo tanto su desviación estandar:

Asimetria ó deformacíon (Forma): con base en la razón entre los momentos centrales de orden dos y tres como quedo definido antes:

sobre la base de que si: MATH

Generalmente la distribución binomial es sesgada ó asimetrica hacia la derecha, sesgo que se va perdiendo cuanto más grande sea el valor de $\eta$ (# de pruebas) y en la medida en que $\rho$ se acerque a

(por lo tanto $(1-\rho )$ tienda a

), limite en el cual se torna simétrica

Para el caso considerado y utilizando tanto la metodología tradicional de la definición de conceptos como usando las fórmulas simplificadas, tenemos:

	$(x-\mu)$	$(x-\mu)^{2}$	$(x-\mu)^{2}f(x)$




Total	0

; tambien

;

Su función de distribución acumulada sera:

Ejemplo

Una empresa adoptó un proceso de control ded calidad consistente en diariamente seleccionar al azar 20 unidadeds del total producido y conocer el número de unidades defectuosas. El plan establece que si al examinar diariamente las veinte unidades, tres ó mas salen defectuosas, algo esta pasando y se ordena detener el proceso productivo para buscar la falla. Cúal es la probabilidad de que se ordene parar el proceso productivo si se sabe por experiencia que la probabilidad de una unidad defectuosa es 10%?

Se pide:

La solución más corta para este planteamiento sería entonces:

o sea $40\%;$ que sera la probabilidad de que cualquier dia se ordene parar el proceso de producción según el planteamiento de control del mismo.

Si consideramos las características, tenemos:

Valor esperado $E(X)=\mu$

unidades defectuosas.

Varianza

Valores que como es lógico tambien pueden ser hallados por el método tradicional.

Si se hace la grafica para determinar la forma (aunque se deduce que como $\rho <\frac{1}{2},$ será sesgada a la derecha). Veremos sin embargo que dado $\eta =20$ , no es tan sesgada como en el caso del otro ejemplo tratado aqui.

Si se hace crecer

, por ejemplo, hasta $\eta =30$ , todavía se torna más simétrica, tendiendo hacia una normal a pesar de que $\rho$ no sea tan cercano a

pero si alejado de cero (

) ó de uno (

). En la práctica, si $\eta >30$ irá tornandose simétrica para valores de ( $0.1<\rho <0.5$ )

Se puede obtener la función de distribución acumulada y obtener asi los cuantiles ó fractiles de la distribución.

La siguiente figura muestra tres funciones de distribución binomial con $\eta =50$ y valores $\rho$ de

La A con $\rho =0.25$ es ligeramente sesgada a la derecha ó con sesgo positivo. La B con $\rho =0.50$ es simetrica y la C con $\rho =0.75$ tendra sesgo negativo, interpretaciones que resultan consecuentes con el indice de sesgo $\alpha _{3}$ ya planteado.

Ejercicios

1. Una empresa fabricante de neumáticos para tractomulas realiza pruebas de ponchaduras en un terreno difícil. Se encuentra que el $25\%$ de los neumáticos probados presentaron pinchazo en el recorrido total. Se prueban 15 neumáticos más tomados al azar: Halle la probabilidad de las siguientes cantidades de neumáticos con pinchaduras :

Entre 3 a 6 .

Mas de 5 .

OBTENIDO DE : http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_230_72.html

lunes, 4 de noviembre de 2013

Distribución Binomial