Teorema de Bayes

Este teorema es una generalización de la probabilidad Condicionada, el cual esta definido de la siguiente manera

Sean A_1, A_2,…….An, sucesos mutuamente excluyentes que ocupan todo el espacio muestral S. Si cada uno de estos sucesos tiene probabilidad no nula y uno de ellos debe ocurrir, entonces para todo suceso B en el espacio muestral S, es :

Probabilidad "A Priori"

Probabilidad a posteriori

En estadística Bayesiana, la probabilidad a posteriori de un evento aleatorio es la probabilidad condicional que es asignada después de que la evidencia es tomada en cuenta.

Teniendo la creencia a priori de que la función de distribución de probabilidad es $p(\theta)$ y de que una observación $X$ con la verosimilitud $p(X|\theta)$ , la probabilidad a posteriori es definida como $p(\theta|X)$ $\propto$ $p(\theta)p(X|\theta)$ .

Ejemplo

Supongamos que un colegio mixto donde el 60% de los estudiantes son chicos y el 40% son chicas. Las chicas llevan pantalón o falda en probabilidades iguales; los chicos siempre llevan pantalones. Un observador ve desde lejos a un estudiante aleatorio; lo único que puede distinguir el observador es que el o la estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? La respuesta correcta se puede hallar usando el Teorema de Bayes.

El evento A es que el estudiante observado sea una chica, mientras que el evento B es que el estudiante observado lleva pantalones. Para hallar P(A|B), primero necesitamos saber:

P(A), o la probabilidad de que el estudiante sea una chica a pesar de cualquier otra información. Ya que el observador ve un estudiante aleatorio, y dado que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de chicas entre los estudiantes es el 40%, esta probabilidad es 0,4.
P(A'), o la probabilidad de que el estudiante observado sea un chico a pesar de cualquier otra información (A' es el complementario del evento A). Esto es el 60%, o 0,6.
P(B|A), o la probabilidad de que el estudiante que lleva pantalones sea una chica. Como tienen la misma probabilidad de llevar falda o pantalones, esto es 0,5.
P(B|A'), o la probabilidad de que el estudiante que lleva pantalones sea un chico. Esto es 1.
P(B), o la probabilidad de que un estudiante (aleatorio) lleve pantalones a pesar de cualquier otra información. Dado queP(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), esto es 0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.

Dados todos estos datos, la probabilidad de que el observador haya visto a una chica habiendo observado que lleva pantalones puede ser calculada sustituyendo estos valores en la fórmula:

$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} = \frac{0,5 \times 0,4}{0,8} = 0,25.$

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Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento

ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un evento

se llama probabilidad condicional y se denota por

que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad,

definida como

		$\QTR{cal}{A}$	$\rightarrow$	$\left[ 0,1\right]$
			$\mapsto$

¿ Es

una función de probabilidad?

es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

para todo evento

Como

entonces dividiendo por $P\left( A\right)$ se tiene los términos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III

es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos

son mutuamente excluyentes, entonces los eventos

son también mutuamente excluyentes y así

Ejemplo

1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad

, una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad

solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad $P_{1}$ , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad $P_{2}$ . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

Solución:

Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta

I : el evento la señal es útil con interferencia pura

S: el evento que indica ocurre una señal

Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_216_58.html

Tecnicas de Conteo

http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf

REGLA DE LA ADICION

Reglas de Probabilidad

Existen tres reglas fundamentales para resolver problemas en donde se desea determinar la probabilidad de un suceso si se conocen las probabilidades de otros sucesos que están relacionados con él. Estas dos reglas son : Regla de la Adición , Probabilidad Condicional y Regla de la Multiplicación o Probabilidad Conjunta .

Existe otra regla muy importante que es El Teorema de Bayes, pero en esta Unidad dedicaremos un aparte especial a ella.

Regla de la Adición: Esta regla expresa la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, P ( A U B).

Puede presentarse de dos formas: para conjuntos con intersección y para conjuntos mutuamente excluyentes. Veamos:

Para conjuntos con Intersección:

Esto se debe a que sumamos la probabilidad de A más la probabilidad de B , pero como ya habíamos sumado la intersección, entonces la restamos.

Para conjuntos con Mutuamente excluyentes:

En este caso, no hay ningún problema en sumar ambas probabilidades.

Ejemplo 1: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par ó

divisible por tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar ?

Lo que primero hacemos es definir los sucesos :

Sea A = resultado par : A = { 2, 4, 6 }

Sea B = resultado divisible por 3 : B = { 3, 6 } . Ambos sucesos tienen intersección ?

Luego,

Ejemplo 2 : Se tiene una baraja de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿ Cuál es la probabilidad de sacar una Reina ó un As ?

Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces :

NOTA: Si observas esta regla, puedes notar que se relaciona fuertemente con la Unión entre conjuntos ( ó ) y es una suma.

Probabilidad Condicionada:

Es la probabilidad de obtener un suceso, dado que ya ocurrió otro. Es decir, si tenemos los sucesos A y B que pertenecen a un mismo espacio muestral S , y si la P (A) es diferente de cero, entonces esta probabilidad que esta designada por :

Para calcular esta probabilidad es necesario conocer tanto la probabilidad marginal de uno de los sucesos ( P(A) ) como la probabilidad de la intersección de ambos ( o la probabilidad cuando ocurran los dos sucesos a la vez ).

Ejemplo 3 : La probabilidad de que una persona tenga una cuenta de ahorros es de 0,65 y la probabilidad de que invierta en un CDT y ahorre en una cuenta de ahorros es de 0,30. Se seleccionó una persona al azar y resultó tener una cuenta de ahorros ¿ Cuál es la probabilidad de que tenga también un CDT ?

Sea A = tener una cuenta de ahorros , B = tener un CDT

Regla de la Multiplicación o Probabilidad Conjunta: Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.

Pueden ocurrir dos formas: que el segundo suceso depende del primero o que ninguno dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:

Para sucesos dependientes:

NOTA: Si observas esta regla, puedes darte cuenta que se relaciona fuertemente con la Intersección entre conjuntos ( y ), es una multiplicación.

Ejemplo 1: Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?

Sea R = sacar un rey

Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:

Para sucesos independientes:

Ejemplo 2: Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?

Sea C = carta de corazones

NOTA: Observa que la probabilidad del segundo suceso no se ve afectada por la probabilidad del primero. ¿ A qué se deberá?.

Probabilidad Total : Esta probabilidad es la suma total de todas las probabilidades involucradas entre un suceso y otros. Así :

Ejemplo 1 : El gerente de una compañía quiere hacer cada semana una reunión y pedirle a sus ejecutivos un informe . El sabe que a veces se le olvida ir a tal reunión, por lo que le ha dado instrucciones a su secretaria que se haga cargo de la agenda a tratar. Si el gerente hace la reunión, la probabilidad es 0.80 de que solicite el informe, mientras que si su secretaria hace la reunión, esta probabilidad es de sólo 0,15. Si el gerente falta al 60 % de las reuniones. ¿Cuál es la probabilidad de que se le pida los informes a los ejecutivos?

Entonces, la probabilidad de que se solicite el Informe, es la probabilidad de que lo solicite el gerente cuando esta en la reunión (asiste ) más la probabilidad de que lo solicite la secretaria ( cuando el gerente esta ausente ). Por lo tanto:

Por lo tanto, la probabilidad de que se solicite el informe es del 54 %.

Ejemplo 2 : La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la urna B contiene 2 bolitas blancas y 3 rojas. Se saca una bolita de la urna A y se coloca en B, en seguida se sacan 2 bolitas de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 bolitas extraídas de B sean blancas? juguetes10.gif (10959 bytes)

La probabilidad de que las 2 bolitas extraídas de B sean blancas es del 14%.

Fuente:
http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/proconjunta.htm#reglas2

Estadistica

jueves, 26 de septiembre de 2013

Teorema de Bayes

Probabilidad "A Priori"

Probabilidad a posteriori

Ejemplo

Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional

Ejemplo

Solución:

Tecnicas de Conteo

REGLA DE LA ADICION